Автор
Вадим Соколов
Рейтинг автора
4.6

Поскольку индуктивные аргументы только показывают, что их выводы, скорее всего, верны, в сегодняшнем уроке мы переходим к краткому обзору современной теории вероятностей. С самого начала мы предполагаем, что то, что можно назвать вероятным, является возникновением события, типа вещей, которые можно описать в утверждении или предложении.

Если мы присвоим числовое значение 1,0 как вероятность события, которое должно произойти (обозначено тавтологическим утверждением), а числовое значение 0,0 - как вероятность события, которое не может произойти (обозначено внутренним противоречием), тогда каждая степень Вероятность, которая находится между этими двумя крайностями, может быть выражена десятичной дробью или дробью от 0,0 до 1,0.

Есть две теории о том, что могут означать эти числовые представления вероятности. Классическая теория предполагает, что вероятность события - это степень, в которой было бы рационально поверить в истинность утверждения, описывающего событие. С другой стороны, частотная теория предполагает, что вероятность события - это просто отчет об относительной частоте, с которой события подобного рода действительно происходили в прошлом. В большинстве наших примеров здесь, мы будем использовать простой комбинаторной арифметику назначить начальную вероятность P (A) , из событий А . Исходя из этого, мы можем легко вычислить вероятность одновременного возникновения отдельных событий.

Совместные проявления

  • Вероятность выпадения орла при одном подбрасывании монеты составляет 0,5 (или 1/2), как и вероятность выпадения орла при втором подбрасывании той же монеты. Таким образом, вероятность выпадения орла при обоих бросках монеты составляет 0,5 × 0,5 или 0,25 (1/4).
  • Вероятность вытащить один из четырех тузов из стандартной колоды из 52 карт составляет 4/52; но шанс вытянуть второго туза составляет всего 3/51, потому что после того, как мы вытащили первый туз, из оставшейся 51 карты было только три туза. Таким образом, шанс вытащить туза при каждой из двух дро составляет 4/52 × 3/51 или 1/221.
  • Предположим, что в сумке находятся три красных шарика, четыре синих шарика и пять белых шариков. Тогда вероятность вытащить белый шарик, не глядя - 5/12, вероятность вытащить второй - 4/11, а вероятность вытащить третий - 3/10. Таким образом, вероятность вытащить три белых шарика составляет 5/12 × 4/11 × 3/10 или 1/22. (С другой стороны, шанс получить три красных шарика составляет 3/12 × 2/11 × 1/10, или только 1/220.)

Альтернативные вхождения

  • Вероятность выпадения орла при одном подбрасывании монеты составляет 0,5 (или 1/2), как и вероятность выпадения орла при втором подбрасывании той же монеты. Таким образом, вероятность выпадения орла хотя бы один раз во время двух подбрасываний монеты составляет 0,5 + 0,5 - (0,5 × 0,5) или 0,75 (3/4).
  • Шанс вытащить одного из четырех тузов из стандартной колоды из 52 карт составляет 4/52. Таким образом, шанс выпадения хотя бы одного туза из двух розыгрышей составляет 4/52 + 4/52 - (4/52 × 3/51) или 33/221.

    [Мы можем проверить точность этого результата, посчитав шанс выпадения без тузов при обоих розыгрышах: 48/52 × 47/51 или 188/221. Поскольку, безусловно, верно, что один из этих исходов произойдет (и невозможно, чтобы оба результата), сумма их вероятностей равна 1.]
  • Предположим, что в сумке находятся три красных шарика, четыре синих шарика и пять белых шариков. Тогда вероятность вытащить белый шарик, не глядя, составляет 5/12. Таким образом, вероятность вытащить хотя бы один белый шарик за две попытки составляет 5/12 + 5/12 - (5/12 × 4/11) или 15/22. (С другой стороны, шанс получить хотя бы один красный шарик составляет 3/12 + 3/12 - (3/12 × 2/11) или только 10/22.)

Ожидаемое значение

В любой ситуации, когда существует несколько результатов с разной вероятностью, мы рассчитываем ожидаемую стоимость инвестиций, умножая ценность каждого результата на вероятность того, что он произойдет, а затем складываем все наши результаты вместе.

Предположим, например, что в рамках благотворительного розыгрыша планируется продать 1000 билетов, а затем вручить один приз в 1000 долларов, три приза по 500 долларов и двенадцать призов по 100 долларов. Предполагая, что ни один билет не может выиграть более одного приза, вероятность того, что билет выиграет главный приз, составляет 1/1000, что он выиграет один из вторых призов 3/1000, что он выиграет один из других призов. 12/1000, и что он не выиграет призов 984/1000. Суммируя продукты, мы обнаруживаем, что: Поскольку ожидаемая стоимость каждого билета составляет 3,70 доллара США, если они стоят 10 долларов США, благотворительная организация получит большую часть доходов.

© 1997, 2011 Гарт Кемерлинг.

Последнее изменение: 12 ноября 2011 г.

Вопросы, комментарии и предложения можно направлять по адресу:

Контактная страница.

Новости спорта

Изначально сайт создавался для пользователей со всех стран мира. Международный домен ориентирован на самых разных пользователей. Страницы сайта переведены на 46 языков, среди которых есть и азербайджанский. Это выгодно выделяет платформу на фоне конкурентов, так как многие из них либо не работают на территории данной страны, либо не имеют местной локализации.

Больше новостей