Автор
Вадим Соколов
Рейтинг автора
4.6

У. Дж. Херли и Тайлер Зауэрбрей

Обычно в гольф для отдыха играют вчетвером - четыре игрока в гольф играют в группе на 18 лунок. Самая популярная игра со ставками среди мужских четверок-любителей - это командная игра на лучший чистый мяч, в которой четверка делится на две команды по два игрока, а самый низкий результат для команды на лунке - это самый низкий чистый результат среди членов ее команды. Этот чистый результат называется лучшим мячом команды. Например, предположим, что команда имеет брутто-баллы 4 и 5 и соответствующие нетто-баллы 3 и 5 (гольфист, получивший 4, имеет гандикапный удар, поэтому его чистый счет на лунке равен 3). Тогда лучший результат в сетке команды равен 3, что является наименьшим из двух нетто-очков. Если мы думаем о чистом счете игрока в гольф на лунке как о случайной величине, то лучший мяч команды - это статистика минимального порядка из двух чистых очков.Обычно матч проводится на 18 лунках на основе лучшего результата команды по лункам (т. Е. Матчевой игры). Есть много разновидностей этой игры, но суть ее - бестбол в командном сетевом режиме.

Немного о гольфе

Было бы несправедливо, если бы гольфист, который регулярно бьет 90 на 18 лунок, должен был бы сыграть матч с игроком, который регулярно пробивает 75, без какой-либо корректировки своих результатов. По этой причине руководящие органы по гольфу (в том числе Ассоциация гольфа США, а также Royal и Ancient) разработали системы гандикапов, которые позволяют двум игрокам в гольф с разными способностями участвовать в соревновательном матче. В случае с двумя игроками в гольф, указанными выше, оба игрока в гольф вычитали бы количество ударов из своих очков, но гольфисту, который регулярно бьет 90, будет разрешено вычесть больше ударов из своего счета. Количество ударов, которые вычитает игрок в гольф, называется его гандикапом. Брутто-баллы с поправкой на гандикап называются чистыми баллами.

Обычно существует два вида соревнований на 18 лунок. В игре за медали игроки в гольф сравнивают общее количество ударов, и побеждает гольфист, набравший наименьшее количество ударов. В матчевой игре соревнование идет по очереди. Каждая лунка либо выиграна одним из игроков, либо ничья. Приняв 1 очко за выигранную лунку, победителем становится гольфист, набравший наибольшее количество очков на 18 лунках. Гандикапы созданы для того, чтобы эти матчи один на один были честными. В случае матчевой игры гольфист принимает свои удары с гандикапом на самых сложных лунках. Например, если у игрока в гольф гандикап 5, он вычитает удар из каждого своего результата на 5 самых сложных лунках.

Каждая лунка в гольфе связана со своим номиналом. Как правило, большинство полей состоит из лунок пар 3, пар 4 и пар 5. Номинал лунки показывает количество бросков, которое потребуется достаточно хорошему гольфисту, чтобы завершить лунку. Например, для лунки пар 4 требуется толчок от площадки-ти; второй выстрел попадал бы в грин; и, оказавшись на грине, игрок в гольф должен был сделать два патта. Более 18 лунок, общий номинал для большинства стандартных полей обычно составляет 70, 71 или 72.

Если игрок в гольф может завершить лунку на одну лунку меньше его номинала, мы называем счет птичкой. В тех редких случаях, когда игрок в гольф завершает лунку на две лунки меньше номинала, мы называем счет орлом. Один балл больше номинала на лунке (скажем, 5 баллов на лунке пар 4) называется пугалом, два балла выше номинала - двойным пугалом, а тройной балл выше пара - тройным пугалом.

Среди любителей есть существенные различия в способностях игры в гольф. Гольфистов, которые забивают очень низкие баллы, называют скрэтч-гольфистами. Обычно скрэтч-гольфистом считается игрок с гандикапом 0. Таким образом, чистый результат скрэтч-гольфиста совпадает с его или ее брутто-счетом. В некоторых случаях игрок в гольф лучше, чем скретч, и в этом случае ему или ей придется прибавить удары к общему баллу, чтобы получить чистый результат. Но для большинства игроков в гольф удары с гандикапом вычитаются из общего счета, чтобы получить чистый счет.

Система гандикапа работает по системе чести. Ожидается, что игроки в гольф сообщают свои результаты точно в соответствии с правилами системы гандикапов. Как правило, это предполагает, что игрок в гольф тратит минуту после раунда, чтобы сесть за компьютер в профессиональном магазине и ввести свой счет. Утверждалось, что некоторые игроки в гольф показывают результаты выше, чем они на самом деле. В результате их физический недостаток обычно выше, чем он был бы в противном случае. Иногда этих игроков в гольф называют мешочниками с песком.

Проблема, которую мы изучаем, - это гандикап в командных матчах с лучшим мячом. Например, если одна команда состоит из игроков с гандикапом 2 и 12, а другая - с гандикапом 4 и 8, как следует вести игру, чтобы она была честной? Среди игроков в гольф существует всеобщее убеждение, что для того, чтобы такие матчи были честными, все игроки должны получить свой полный гандикап при определении лучшего мяча команды. Цель данной статьи - показать, что это мнение в целом неверно. То есть, использование стандартных гандикапов, гандикапов, разработанных для индивидуальных соревнований, плохо переносится на матчи с лучшим мячом в командных сетках.

Иногда определение лучшего результата команды используется в более содержательных играх. Например, в нашем клубе (Cataraqui Golf and Country Club, Кингстон, Онтарио, Канада) есть турнир-участник-гость, в котором результаты определяются с использованием лучшего мяча команды. Стоимость участия в этом турнире составляет 1000 долларов на команду. Часть этого вступительного взноса предоставляется в виде призовых. Кроме того, между отдельными командами организованы пари-мутюэльские ставки и побочные ставки. По нашим скромным оценкам, на кону стоит не менее 100 000 долларов.

Позиция USGA в отношении лучшего мяча команды

Следующий отрывок резюмирует точку зрения Ассоциации гольфа США (USGA) на соответствующие корректировки для командных соревнований по выбору лучшего мяча:

Когда присоединяются дополнительные игроки, USGA рекомендует надбавку за гандикап, чтобы обеспечить равенство в других формах игры. Несколько слов объяснения: игроки с более высокими физическими недостатками обычно показывают более широкий диапазон очков за каждую лунку, чем лучшие и более последовательные игроки. Это означает, что если используются полные гандикапы и команда может выбрать свой лучший чистый счет на каждой лунке, команда, получившая наибольшее количество ударов, имеет определенное преимущество.

USGA разработала рекомендованные доплаты, которые необходимо применять в этих обстоятельствах, чтобы убедиться, что эти игры являются честными и сводят на нет преимущество игроков с более высокими физическими недостатками.

Таким образом, USGA понимает, что система определения гандикапов не подходит для матчей с лучшим мячом. Однако мы покажем, что не всегда верно, что игроки с более высокими физическими возможностями имеют преимущество. Таким образом, мы утверждаем, что рекомендация USGA относительно справедливого определения лучшего результата в сетке не распространяется на все возможные пары с гандикапом.

Простой пример, подчеркивающий суть

Предположим, что два гольфиста с пометками «Низкий» и «Высокий» играют в матч на одну лунку. Игрок в гольф с низким рейтингом - хороший игрок и получает только номинал (0 или даже номинал) или птичку (-1 или 1 меньше). С другой стороны, высокий игрок в гольф способен только на номинал, богги (+1 или один больше номинала) или двойной богги (+2 или два больше номинала). Предположим, что игрок в гольф с низким уровнем дает удар игроку с высоким рейтингом. То есть, чтобы определить, кто выиграет, высокий игрок в гольф вычитает удар из полученного результата, а затем эти два результата сравнивают, чтобы увидеть, кто победит.

Предположим, что вероятности возможных результатов для каждого игрока указаны ниже:

Как только высокий игрок вычитает удар из своего счета, он может получить птичку, номинал или пугало. Определив эти вероятности, мы можем легко вычислить вероятности того, что каждый из них выиграет:

Чтобы этот матч с одной лункой был честным, эти двое должны быть равны. Это требует, чтобы

Мы предполагаем, что это равенство выполняется, и поэтому этот матч честный.

Теперь рассмотрим командную игру с лучшим мячом, в которой команды состоят из двух игроков в гольф с низким гандикапом (команда с низким гандикапом) и двух игроков с высоким гандикапом (команда с высоким гандикапом). Опять же, эти команды сыграют одну лунку. Крайне важно, чтобы оба игрока высокого уровня вычитали один удар из своих индивидуальных очков с целью расчета лучшего мяча команды High. Кроме того, мы предполагаем независимость индивидуальных оценок.

Используя параметры p , q 0 и q 1 , мы можем вычислить вероятности различных результатов команды за вычетом удара, который получит каждый игрок в Высшей команде:

Это дает следующие вероятности выигрыша:

Рассмотрим следующий пример. Пусть параметры вероятности для игроков в гольф с низким и высоким уровнем равны

Согласно этим предположениям, матч между игроком в гольф с низким и высоким уровнем, в котором гольфист с высоким уровнем получает 1 удар, является справедливым, поскольку у каждого игрока в гольф есть вероятность выигрыша 0,3 (матч завершается вничью с вероятностью 0,4).

Теперь посмотрим, что происходит в командном матче, в котором каждый игрок в гольф получает удар. У нас есть

Pr (победы низкой команды) = 0,18,

Pr (победы высокой команды) = 0,36,

и матч завершается вничью с вероятностью 0,46. То есть вероятность победы старшей команды в два раза выше, чем у младшей. Следовательно, из этого не следует, что гандикапы, которые делают матчи один на один справедливыми, также делают справедливыми матчи с лучшим мячом команды.

Этот пример согласуется с тем, что USGA предлагает о командных матчах с лучшим мячом, что команда с более высоким гандикапом имеет преимущество. Однако это не всегда так, как мы собираемся показать на примере в следующем разделе.

Другой пример

Рассмотрим модель командного матча с лучшим мячом со следующими допущениями:

1. Поле состоит из 18 лунок одинаковой сложности.

2. Для каждой лунки результат игрока в гольф характеризуется следующим распределением вероятностей:

Чтобы сделать анализ достаточно простым, другие оценки, такие как орлы и тройные призраки, невозможны, так что

3. Мы повторно параметризуем эти четыре вероятности с помощью

Основываясь на анализе игроков в гольф в нашем клубе, мы установили a = b = 5. Способности игрока в гольф грубо характеризует θ - чем выше θ , тем больше вероятность того, что гольфист будет играть на лунке наравне или лучше. Учитывая a θ , a = b = 5 и (6), мы можем вычислить p i ’s.

Последнее предположение, что a = b = 5, требует некоторого обоснования. Рассмотрим скрэтч-гольфиста. Ниже мы будем утверждать, что у такого игрока в гольф θ = 0,789 при a = b = 5. Мы можем вычислить p i для такого игрока:

Эти вероятности показаны во втором столбце. Основываясь на этих вероятностях, мы можем вычислить ожидаемое количество лунок, на которых скрэтч-гольфист рассчитывает записать птичку на 18 лунок. Мы можем сделать то же самое для дырок с пробитыми отверстиями, пугалами и двойными пугалами. Эти результаты показаны в третьем столбце таблицы. Таким образом, наш скрэтч-гольфист за раунд, как ожидается, получит 2–3 птички, около 12 пар, 3–4 пугала и нечетное двойное пугало. На наш взгляд, это справедливо характеризует скрэтч-гольфистов в нашем клубе. Кроме того, мы могли рассчитать количество ударов, которое потребуется для этого среднего раунда по сравнению с номиналом. Чтобы получить это, мы вычисляем

В случае с нашим скрэтч-гольфистом он работает до 2,06 удара. Другими словами, он или она, в среднем, набирает результат примерно на 2 удара выше номинала на 18 лунках. Это разумно, учитывая то, как работает система гандикапов. Большинство систем гандикапа используют лучшее m из последних n брутто-очков гольфиста для определения гандикапа. Например, в Канаде и Соединенных Штатах 10 лучших из последних 20 игр гольфиста используются для определения его или ее гандикапа. По этой причине средний чистый результат игрока в гольф должен превышать номинал. Кроме того, мы рассчитали нижнюю границу для соотношения pars и птичек в PGA Tour за первую часть сезона 2014 года (до US Open, но не включая его). Эта оценка равна a = p 0 / p −1 = 3.8, что достаточно близко к 5.

Наконец, мы утверждаем, что нам не нужно оценивать a и b с точностью, учитывая нашу цель. Мы просто хотим указать на то, что, возможно, предложение USGA о справедливости командных игр с лучшим мячом не работает для всех пар с гандикапом. Чтобы подчеркнуть это, нам не нужна точная модель генерации результатов игры в гольф; нам нужен только разумный.

Исходя из этих предположений, мы можем вычислить гандикап игрока в гольф для фиксированного θ следующим образом. Для данного θ мы получили результат на 18 лунках, 18 раз используя распределение в (5). Это приводит к целочисленному измерению счета гольфиста на 18 лунках относительно номинала. Мы делаем это снова и снова, чтобы создать последовательность раундов. Имея эту последовательность раундов, мы генерируем гандикап игрока в гольф по формуле USGA. Детали расчета гандикапа обременительны. Читатели, интересующиеся точными деталями этого расчета, могут обратиться к статье Шварца, перечисленной в разделе «Дополнительная литература».

Гандикап игрока в гольф меняется по мере того, как к его счету добавляется больше игр. Таким образом, естественно думать о гандикапе игрока в гольф с течением времени как о случайном процессе. На рисунке 1 мы изобразили прогресс гандикапа игрока в гольф при θ = 0,647 за 1000 раундов. Обратите внимание, что фактический гандикап (CH, или гандикап поля) варьируется от 1 до 5. Фактически, средний гандикап за 100 000 раундов равен 3, поэтому мы говорим, что игрок в гольф с θ = 0,647 имеет ожидаемый гандикап поля или истинный гандикап 3. Следовательно, гольфист с истинным гандикапом 3 иногда приходит к первому ти с гандикапом 5. С трудом можно обвинить этого игрока в гольф в том, что он бездельник. Завышенный гандикап является результатом случайности результатов игры в гольф и характера расчета гандикапа.

Рис. 1. Как изменяется гандикап гольфиста θ = 0,647 за 1000 раундов.

Чтобы получить взаимосвязь между ожидаемым гандикапом на дистанции E [ CH ] и параметром способностей θ , мы выполнили моделирование, описанное выше, для значений θ между 0,05 и 0,95. Для каждого значения θ мы использовали 100 000 итераций моделирования, чтобы получить значение E [ CH ]. Результаты показаны на рисунке 2. Хотя по этому графику трудно сказать, что эта кривая немного нелинейна. Следовательно, мы предположили квадратичную зависимость между E [ CH ] и θ , и регрессия дала подобранную модель.

R 2 статистика для этой регрессии 0,9980, поэтому подходит очень хорошо.

Рис. 2. Связь между ожидаемым гандикапом на трассе и θ.

Обратите внимание, что для данного E [ CH ] мы можем найти соответствующее значение θ . Например, для E [ CH ] = 3 получаем θ = 0,6477. В результатах моделирования, представленных выше, мы использовали θ = 0,647, а E [ CH ] было приблизительно 3. Для скрэтч-гольфиста ( E [ CH ] = 0) мы имеем θ = 0,789, а для богги-гольфиста ( E [ CH ] = 0). CH ] = 18), θ = 0,032.

Оценить, как две команды с лучшим мячом выступят друг против друга, с учетом описанных выше допущений, будет сложно аналитически. Следовательно, мы использовали методологию моделирования Монте-Карло. Фактически, мы позволяем одной команде играть с другой, случайным образом генерируя результаты лунок в соответствии с допущениями модели, описанными выше. Брутто-баллы генерируются для каждого игрока в гольф в соответствии с вектором ( p −1 , p 0 , p 1 , p 2) для этого гольфиста. Затем рассчитываются чистые баллы. И по этим чистым счетам мы определяем, кто выиграет матч с лучшим мячом в чистом виде. Чтобы получить точные результаты, мы повторили этот расчет для 50 000 матчей на 18 лунок. Получив результаты для этих 50 000 матчей, мы вычислили процент матчей, в которых выигрывает каждая команда, и процент времени, в течение которого матч был проведен вничью.

В частности, мы рассмотрели матчи, в которых два скрэтч-гольфиста (низкая команда) играют против высокой команды. Мы рассмотрели четыре Высшие команды:

1. Высшая команда 6 . У обоих игроков гандикап 6 (у обоих E [ CH ] = 6).

2. Высшая команда 8 . У обоих игроков гандикап 8.

3. Высшая команда 10 . У обоих игроков гандикап 10.

4. Высшая команда 12 . У обоих игроков гандикап 12.

В каждом случае (т.е. низкая команда против высокой команды x для x = 6, 8, 10, 12) мы моделировали 50 000 совпадений. Полученные частоты сведены в следующую таблицу:

Обратите внимание, что команды высокого уровня 6, 8 и 10 имеют преимущество, но в матче с командой высокого уровня 12 преимущество имеет команда низкого уровня. Следовательно, вопреки позиции USGA, не всегда игроки с высокими гандикапами имеют преимущество перед игроками с низкими гандикапами. Этот пример также должен прояснить, что нет простой настройки для целочисленных гандикапов, которая сделает конкуренцию справедливой. Например, рекомендация USGA о том, чтобы игроки получали фиксированный процент своих гандикапов, в целом не сработает.

Резюме

В этой статье нашей целью было показать два результата:

1. Командные матчи с лучшим мячом обычно нечестны, если всем игрокам в гольф назначается полный гандикап; а также

2. Внесение поправок в гандикапы, как это предлагается USGA, не всегда приводит к матчам с точным подбором лучшего мяча.

Эти результаты вызывают вопрос о том, как скорректировать гандикапы, чтобы матчи с лучшим мячом в сетке были честными. Мы исследовали большое количество комбинаций гандикапов и не смогли найти простое правило, которое можно было бы применить к отдельным целочисленным гандикапам, чтобы сделать чистую конкуренцию на лучший мяч справедливой. Следовательно, по нашему мнению, остается открытым вопрос о том, есть ли простые корректировки гандикапа поля, которые всегда сделают чистую борьбу с лучшим мячом более справедливой.

Дальнейшее чтение

Bingham, DR и TB Swartz. 2000. Справедливый гандикап в гольфе. Американский статистик 54 (3): 170-177.

Льюис А.Дж. 2005. Гандикап в групповых и расширенных соревнованиях по гольфу. IMA Journal of Management Mathematics 16: 151-160.

Поллард, Джефф и Грэм Поллард. 2010. Четыре мяча - лучший мяч 1 (скачать PDF). Журнал спортивной науки и медицины 9: 86-91.

Шварц, Т. Б. 2009. Новая система гандикапов для гольфа. Журнал количественного анализа в спорте 5 (2): статья 9.

Об авторах

Билл Херли- профессор кафедры математики и информатики Королевского военного колледжа Канады. Его исследовательские интересы лежат в области анализа решений, теории игр и проектирования протоколов MAC в беспроводных сетях.

Тайлер Зауэрбрей- аналитик компании Empire Life Insurance Company в Кингстоне, Онтарио. Он имеет степень бакалавра машиностроения и степень магистра менеджмента (менеджмента) Королевского университета. Его исследовательские интересы лежат в области принятия решений и спортивной аналитики.

Новости спорта

Изначально сайт создавался для пользователей со всех стран мира. Международный домен ориентирован на самых разных пользователей. Страницы сайта переведены на 46 языков, среди которых есть и азербайджанский. Это выгодно выделяет платформу на фоне конкурентов, так как многие из них либо не работают на территории данной страны, либо не имеют местной локализации.

Больше новостей